구간 합(Prefix sum) ✔

이론 ✌

먼저 구간 합 알고리즘을 활용 하려면 합 배열을 구해야 한다.

배열 A가 있을 때 합 배열 S는 다음과 같이 정의

S[i] = A[0] + A[1] + A[2] + ... + A[i-1] + A[i] # A[0]부터 A[i] 까지의 합

합 배열을 미리 구해 놓으면 기존 배열의 일정 범위의 합을 구하는 시간 복잡도가 O(N) 에서 O(1)으로 감소한다. 예를 들어

인덱스	0	1	2	3	4	5
배열 A	15	13	10	7	3	12
합 배열 S	15	28	38	45	48	60

A[i] 부터 A[j]까지의 배열 합을 합 배열 없이 구하는 경우, 최악의 경우는 i가 0이고 j가 N인 경우로 시간 복잡도는 O(N)이다. 이런 경우 앞에서 합 배열을 사용하면 O(1)안에 답을 구할 수 있음

합 배열 S를 만드는 공식

S[i] = S[i-1] + A[i]

이렇게 구현된 합 배열을 이용하여 i에서 j까지 구간 합을 구하는 공식은

S[i] - S[j-1] # 구간합은 S[j]를 포함해야 하므로 j이전까지의 합 배열을 빼면 됨

A[2]~A[5] 구간 합을 합 배열로 구하는 과정

S[5] = A[0] + A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5]
S[1] = A[0] + A[1]
S[5] - S[1] = A[2] + A[3] + A[4] + A[5]

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백준 - 11659 1️⃣

문제 설명

수 N개가 주어졌을 때, i번째 수부터 j번째 수까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수의 개수 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. 둘째 줄에는 N개의 수가 주어진다. 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. 셋째 줄부터 M개의 줄에는 합을 구해야 하는 구간 i와 j가 주어진다.

출력

총 M개의 줄에 입력으로 주어진 i번째 수부터 j번째 수까지 합을 출력한다.

풀이 🔓

설명과 같다.

코드 📃

import sys

input = sys.stdin.readline
n, m = map(int, input().split())
arr = list(map(int, input().split()))

s = [0 for _ in range(n)]
s[0] = arr[0]
for i in range(1, n):
  s[i] = s[i-1] + arr[i]

for _ in range(m):
  l, r = map(int, input().split())
  if l-2 >= 0:
    print(s[r-1] - s[l-2])
  else:
    print(s[r-1])

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백준 - 11660 2️⃣

문제 설명

N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.

예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.

표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)

출력

총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.

풀이 🔓

• 질의의 갯수(좌표 값이 주어지는 횟수)가 100,000 이므로 질의 마다 합을 구해서는 시간 초과가 난다
• 2차원 구간 합 배열 S[x][y] 정의
• S[x][y] = 원본 배열의 (0, 0) 부터 (x, y)까지의 사각형 안에 있는 수의 합

• 그럼 (2,2) ~ (3,4)의 구간 합은?

  

  • 빨간색 네모 : (2,2) ~ (3,4)의 구간 합
  • 파란색 네모 : (3,4)의 배열 합
  • 검은색 빗금 : 빨간색 네모를 얻기 위해 (3,4)의 배열 합에서 없애야 하는 부분
  • 검은색 빗금에 대하여 행과 열로 각각 접근 할 건데 중복된 부분(검은색 네모)을 고려해야 함
  • 따라서, 구간 합 : S[x2][y2] - S[x1-1][y2] - S[x2][y1-1] + S[x1-1][y1-1]

코드 📃

import sys

input = sys.stdin.readline
n, m = map(int, input().split())
board = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]


# s[x][y] = x행 y열 까지의 합
s = [[0 for _ in range(n+1)] for _ in range(n+1)]
s[1][1] = board[0][0]

for i in range(1, n+1):
  for j in range(1,n+1):
    if i == 0 and j == 0:
      continue
    else:
      # 한 행의 합 배열 계산
      s[i][j] = s[i][j-1] + board[i-1][j-1]
  
  if i != 1 :
    # 바로 위 행과 합 배열 계산
    for j in range(1, n+1):
      s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j]

for _ in range(m):
  x1, y1, x2, y2 = map(int, input().split())
  print(s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1])