위상정렬(topology sort) ✔

이론 ✌

위상 정렬(topology sort)는 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 알고리즘이다.

예시) 대학교 커리큘럼 과정에서 선수과목을 고려한 학습 순서 설정

• 학습순서를 보자면 알고리즘은 자료구조를 들어야 수강할 수 있고, 고급 알고리즘은 자료구조, 알고리즘을 들어야 수강이 가능하다.

• 이렇게 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열해야한다.

진입 차수(in-degree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

진출 차수(out-degree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

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큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작과정 👍

1. 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다
2. 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복
   • 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거
   • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다
3. 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다

• 진입차수를 줄여가는 과정이 위 예시에서 고급 알고리즘을 들 을수 있게 한 단계씩 가는 거임!! 진입차수가 0이 되면 고급 알고리즘을 이제 들을 수 있는 단계 까지 된거고

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예시

위상 정렬을 수행할 그래프를 준비한다

• 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야 함

[단계 1] 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다

• 처음에 노드1이 큐에 삽입됨

[단계 2] 큐가 빌 때까지 반복한다.

a 큐에서 노드 1을 꺼낸 뒤에 노드 1에서 나가는 간선을 제거

• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입한다.

b 큐에서 노드 2를 꺼내 노드 2에서 나가는 간선을 제거

• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입

c 큐에서 노드 5를 꺼내 노드 5에서 나가는 간선을 제거

• 새롭게 진입차수가 0이 된 노드들을 큐에 삽입

[위상 정렬 결과]

• 큐에 삽입된 순서 : 1 -> 2 -> 5 -> 3 -> 6 -> 4 -> 7

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위상 정렬 특징 🔽

1. 위상 정렬은 순환하지 않는 방향 그래프(DAG), Direct Acyclic Graph에서만 수행 가능
2. 위상 정렬에서는 여러가지 답이 존재할 수도 잇음
   • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러가지 답이 존재
3. 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재 (❗) 한다고 판단
   • 왜냐하면 사이클에 포함된 원소들 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못함
4. 스택을 활용한 DFS를 이용 해 위상정렬 가능

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위상정렬 코드 📃

from collections import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용

    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v + 1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)

    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)

    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end=' ')

topology_sort()