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서로소 집합 ?

공통 원소가 없는 두 집합

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서로소 집합 자료구조

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
• 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원함
  • 합집합(Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
  • 찾기(Find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
• 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find)자료구조라고 불리기도 함

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동작과정 🔽

1. 합집합 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인
   • A와 B의 루트 노드 A’, B’를 각각 찾는다
   • A’(더 큰 루트 노드)을 B’의 부모 노드로 설정
2. 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복

• 초기에는 부모를 자기 자신으로 설정 -> 초기 단계에서는 6개의 노드는 각각 집합임

• 밑에 테이블은 부모노드를 기록한 테이블임 -> 현재 3번노드와 4번노드는 같은 집합으로 연결되어 잇음(루트가 1번 노드로 같음) 근데 테이블을 확인하면 3번과 4번노드의 부모는 다름

• 결과적으로 1,2,3,4번 노드는 루트를 1번 노드를 가지는 하나의 집합인 트리형태로 나타남, 5, 6번이 이어진 트리와는 서로소 관계

• 위의 부모 테이블 자체에는 3번 노드의 부모가 2번 노드를 가리키고 있어서 루트노드를 찾을려면 2번 노드의 부모 1번 노드로 가고 1번노드가 자기 자신을 가리키기 때문에 루트노드가 1번노드라는 걸 알 수 있음
• 따라서 함수상에서 재귀적으로 거슬로 올라가면서 루트노드를 찾아야함

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x) :
  # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
  if parent[x] != x:
    return find_parent(parent, parent[x])
  return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b) : 
  a = find_parent(parent, a)
  b = find_parent(parent, b)
  if a < b :
    parent[b] = a
  else:
    parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
  parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
  a, b = map(int, input().split())
  union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
  print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
  print(parent[i], end=' ')

기본적인 구현 방법의 문제점 ❗

• 합집합(Union)연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작
  • 자신의 루트 노드를 찾기위해 자기자신이 루트가 아니라면 부모 노드의 루트를 찾기위해 재귀적으로 함수 호출을 진행함

• 5번 노드가 속한 집합을 찾을려면 루트노드를 찾아야하는데 5->4->3->2->1 이렇게 거슬러 올라가야 찾을 수 있음
• 이럴 경우 찾기(Find)함수가 모든 노드를 다 확인 하게 되어 시간 복잡도가 O(V)가 된다

문제점 해결 -> 경로압축 기법 ✨

• 부모 테이블에 적혀 있는 값이 부모가 아니라 자신의 루트 노드가 될 수 있도록 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출 한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신