플로이드-워셜 ✔

이론 ✌

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 계산함

• 다익스트라 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행 그러나 다익스트라에서 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정은 필요없음

• 플로이드 워셜은 모든 노드에서 다른 모드 노드의 최단 거리 정보를 저장하기 위해 2차원 테이블을 준비해야 함
  

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동작과정 🔽

각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.

• a에서 b로 가는 최단거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사

• 점화식

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• 모든 노드에서 모든 노드로의 최단거리를 기록하기 위해 2차원 테이블을 준비

• 모든 노드들의 인접노드와의 거리를 초기화

• 1번 노드와 인접한 노드인 2번 노드는 4로, 3번 노드와 인접한 노드인 4번 노드는 4로 …

• 먼저 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려
• 기존의 2차원 테이블에 기록된 a에서 b까지의 거리보다 1번 노드를 거쳐 가는게 더 빠르다면 갱신

• 그러나 2->1, 3->1같이 거쳐가지 않고 1번이 시작이거나 도착인 경우는 갱신하지 않음 그래서 최단 거리 테이블에서 1열(도착)과 1행(출발)은 갱신x

• 기존에 3번 노드에서 2번 노드로 가는 거리는 무한이였는데, 1번을 거쳐가는 3 -> 1(5) + 1 -> 2(4) 가 더 작으니 갱신 …

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코드 📃

# 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
INF = int(1e9)

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)을 만들고, 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    if a == b:
      graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
  # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
  a, b, c = map(int, input().split())
  graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
for k in range(1, n + 1):
  for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
      graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
  for b in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if graph[a][b] == INF:
      print("무한", end = ' ')
    else:
      print(graph[a][b], end = ' ')
  print()

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성능 분석 ❗

• 노드의 개수가 N개 일 때, 모든 노드에 대한 최단 거리를 구해야 하기 때문에 N번 수행해야 하고 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려함
• 따라서 시간 복잡도는 O(N^3)
• 이것을 사용할려면 노드의 개수가 500보다 훨씬 작아야 한다…